Définition
Définition d'un ensemble quotient :
- soit \(X\) un ensemble
- et \(\mathcal R\) (ou \(\sim\)) une relation d'équivalence
$$\Huge\iff$$
- on définit l'ensemble quotient de \(X\) par \(\mathcal R\) : $$X/\mathcal R=\{C_x=\{y\mid y\mathcal Rx\}\mid x\in X\}$$ c'est l'ensemble des classes d'équivalences
(
Relation d'équivalence,
Classe d'équivalence)
Intuition
Intuition derrière le groupe quotient :
Quotienter un groupe par un sous-groupe (\(G/H\)), c'est envoyer les éléments du sous-groupe vers l'élément neutre : $$H=eH\implies\forall h\in H,\bar h=\bar e$$
Cas particulier
Soit \(n\in{\Bbb N}^*\)
L'ensemble quotient de la relation congruence modulo \(n\) sur \({\Bbb Z}\) est noté \({\Bbb Z}/n{\Bbb Z}\)
On a : $$\operatorname{Card}({\Bbb Z}/n{\Bbb Z})={{n}}$$
